Question

設數列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c為實數，且c 0.

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設N*，求數列｛b_n｝的前n項和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1對任意N*成立，證明0＜c1.

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：

∵

∴當時，是首項為，公比為的等比數列。

∴

即，

當時，仍滿足上式，

∴數列的通項公式為。

方法二：

時，，

∴

時，也滿足上式

所以數列的通項公式為。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

∴

∴

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知

若

則

∵，∴

由對任意成立，知

下證，用反證法。

方法一：假設，由函數的函數圖像知，當趨于無窮大時，趨于無窮大。

∴不能對恒成立，導致矛盾。

∴，∴。

方法二：

假設，∵，∴

即恒成立（*）

∵為常數，∴（*）對不能恒成立，導致矛盾，∴

∴。