Question

【題目】以 A 為圓心， 以為半徑的圓外有一點 B ， 已知 =2sinθ.設過點B且與⊙A 外切于點T的圓的圓心為 M.

（1）當 θ取某個值時， 說明點 M 的軌跡P 是什么曲線；

（2）點M 是軌跡 P上的動點， 點N 是 ⊙A上的動點， 把的最小值記為（不要求證明）， 求的取值范圍；

（3）若將題設條件中的θ的范圍改為，點 B 的位置改為⊙A內 ， 其它條件不變，點 M的軌跡記為 P .試提出一個和（2）具有相同結構的有意義的問題（不要求解答）.

Answer 1

【答案】(1) 點 M 的軌跡是以A、B 為焦點， 實軸長為2cos θ的雙曲線的 靠近焦點B 的一支.(2) (3)見解析

【解析】

（1）如圖，連 MT 、MA 、MB ， 顯然 M 、T 、A 三點共線， 且.

又，故，其中

故點 M 的軌跡是以A、B 為焦點， 實軸長為2cos θ的雙曲線的 靠近焦點B 的一支.

（2）顯然， 的最小值即為如圖 所示的 （N 和 T 重合）.

.

故.

由，知，由此得.

（3）設點 M是軌跡P上的動點， 點N是⊙A上的動點， 把 的最大值記為.求的取值范圍.