Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）討論在上的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）當時，在上沒有零點，當時，在上只有一個零點，當時，在上有兩個零點.

【解析】

（1）利用函數的導函數，分類討論參數，得出的單調性；

（2）轉化問題，原函數有零點即函數有解，求導得出的單調性和極值，分類討論得出在上的零點個數.

解：（1）∵，

∴，

當時，恒成立，

∴在上單調遞減，

當時，

令，得，令，得.

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

綜上所述，當時，在上單調遞減，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）令，得，

設，則.

令，得，

令，得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，則.

當時，在上無解，所以在上沒有零點；

當時，在上有且僅一個解，所以在上有一個零點；

當時，在上有兩個解，所以在上有兩個零點.

綜上，當時，在上沒有零點；

當時，在上只有一個零點；

當時，在上有兩個零點.