Question

已知點P（1，3），圓C：（x-m）²+y²=

9

2

過點A（1，-

3 2

2

），F點為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，直線PF與圓相切．
（1）求m的值與拋物線的方程；
（2）設點B（2，5），點 Q為拋物線上的一個動點，求

BP

•

BQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點A坐標代入圓C方程解出m=1，再設出直線PF方程，根據PF與圓C相切利用點到直線的距離公式解出k=±1，討論可得k=1不符合題意，而k=-1時算出

p

2

=4，得拋物線方程為y²=16x；
（2）設Q（x，y），由向量的坐標運算公式，算出

BP

、

BQ

關于x、y的表達式，結合拋物線方程化簡得

BP

•

BQ

=-

1

16

y²-2y+12=-

1

16

（y+16）²+28，利用二次函數的圖象與性質即可得到

BP

•

BQ

的取值范圍為（-∞，28]．

解答：解：（1）點A代入圓C方程，得（1-m）²+（-

3 2

2

）²=

9

2

，解之得m=1．
∴圓C方程為：（x-1）²+y²=

9

2

．
①當直線PF的斜率不存在時，不合題意．
②當直線PF的斜率存在時，設為k，則PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．
∵直線PF與圓C相切，∴C到PF的距離為

|k-0-k+3|

k2+1

=

3 2

2

，解之得k=1或-1．
當k=1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為-2，不合題意舍去；
當k=-1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為4，
∴

p

2

=4，可得拋物線方程為y²=16x
（2）∵P（1，3），B（2，5），∴

BP

=(-1，-2)，
設Q（x，y），得

BQ

=(x-2，y-5)
∴

BP

•

BQ

=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．
=-

1

16

y²-2y+12=-

1

16

（y+16）²+28
∵y∈R，得y=-16時

BP

•

BQ

的最大值等于28
因此，

BP

•

BQ

的取值范圍為（-∞，28]．

點評：本題給出拋物線的一條焦半徑與圓C相切，求拋物線與圓的方程，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓的位置關系和向量數量積運算等知識，屬于中檔題．