Question

已知點P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個最高點，且f（9-x）=f（9+x），曲線區間（1，9）內與x軸有唯一一個交點，求這個函數的解析式，并作出一個周期的圖象．

Answer 1

分析：根據點P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個最高點，可知A=

3

，由f（9-x）=f（9+x）得函數的一條對稱軸方程為x=9，根據曲線區間（1，9）內與x軸有唯一一個交點，可知函數的周期，因此可求得函數的解析式；利用五點法列表，描點，即可畫出函數的圖象．

解答：解：∵點P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個最高點，
∴A=

3

，
∵f（9-x）=f（9+x），曲線區間（1，9）內與x軸有唯一一個交點，
∴x=9是曲線的一條對稱軸，且

T

2

=8
∴T=16，
而T=

2π

ω

，ω=

π

8

，

π

8

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

3π

8

+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜

π

2

，
φ=

3π

8

∴f（x）=

3

sin（

π

8

x+

3π

8

），
其圖象如圖所示：

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法以及五點法作圖，根據題意求出周期是解題的關鍵，考查運算能力和作圖能力，屬中檔題．