Question

（2012•黃岡模擬）已知坐標平面內定點和動點A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和動點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若

AP

•

BP

=3，

OQ

=(

1

2

-t)

OM

+(

1

2

+t)

ON

，其中O為坐標原點，則|

PQ

|的最小值是

2

2

-2

．

Answer 1

分析：利用向量知識，確定P、Q的軌跡方程，進而利用點到直線的距離公式，即可求|

PQ

|的最小值．

解答：解：∵動點A（-1，0），B（1，0），P（x₁，y₁），
∴

AP

•

BP

=3
∴（x₁+1，y₁）•（x₁-1，y₁）=3
∴x12+y12=4
∴P的軌跡是個半徑為2、圓心在原點的圓
∵

OQ

=(

1

2

-t)

OM

+(

1

2

+t)

ON

∴Q，M，N三點共線
∵M（4，0），N（0，4）
∴Q的軌跡方程為直線MN：x+y-4=0
∴|

PQ

|的最小值是圓心到直線的距離減去半徑，即

4

2

-2=2

2

-2
故答案為：2

2

-2

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，確定P、Q的軌跡方程是關鍵．