Question

已知二次函數f（x）=-2x²+2x，數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）試寫出一個區間（a，b），使得當a₁∈（a，b）時，數列{a_n}在這個區間上是遞增數列，并說明理由；
（2）令bn=

1

2

-an，試證明數列{lgb_n+lg2}是等比數列
（3）已知，記S_n=log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)，是否存在非零整數λ，使S_n2ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1對任意的n∈N^*恒成立？如果存在，求出λ的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若數列{a_n}在某個區間上是遞增數列，則a_n+1-a_n＞0，即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0⇒a_n∈（0，

1

2

）．所以對一切n∈N^*，均有a_n∈（0，

1

2

）且a_n+1-a_n＞0，所以數列{a_n}在區間（0，

1

2

）上是遞增數列．
（2）由a_n∈（0，

1

2

），知

1

2

-an∈(0，

1

2

），所以

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2．令b_n=

1

2

-an，則有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，所以lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），故數列{lgb_n+lg2}是lgb₁+lg2=lg

1

3

為首項，公比為2的等比數列．    
（3）由（2）得b_n=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，所以log₃（

1

1 2 -an

）．故log₃（

1

1 2 -a1

）=nlog₃2+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1，所以2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立．由此能求出λ的值．

解答：解：（1）若數列{a_n}在某個區間上是遞增數列，
則a_n+1-a_n＞0，
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0，
∴a_n∈（0，

1

2

）（2分）
又當a_n∈（0，

1

2

），n≥1時，
a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n=-2a_n（a_n-1）∈(0，

1

2

)，
所以對一切n∈N^*，均有a_n∈（0，

1

2

），
且a_n+1-a_n＞0，（3分）
所以數列{a_n}在區間（0，

1

2

）上是遞增數列．…（4分）
（2）由（1）知a_n∈（0，

1

2

），
從而

1

2

-an∈(0，

1

2

）；

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，
即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；
令b_n=

1

2

-an，
則有b_n+1=2b_n²且b_n∈（0，

1

2

）；
從而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，（7分）
可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以數列{lgb_n+lg2}是lgb₁+lg2=lg

1

3

為首項，公比為2的等比數列． （8分）
（3）由（2）得lgb_n+lg2=lg

1

3

•2n-1=lg(

1

3

)2n-1，
即lgb_n=lg

( 1 3 )2n-1

2

，
所以 b_n=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，
所以

1

1 2 -an

=

1

bn

=2•32n-1，
所以log₃（

1

1 2 -an

，（10分）
所以，log₃（

1

1 2 -a1

）=nlog₃2+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1．（11分）
即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，
所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立
當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，
當且僅當n=1時，2^n-1有最小值1為．
∴λ＜1
當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，
當且僅當n=2時，有最大值-2為．
∴λ＞-2（13）
所以，對任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．
又λ非零整數，
∴λ=-1（14分）

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數參數．第Ⅲ小題對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．