Question

【題目】設點是拋物線的焦點，、是上兩點.若，且線段的中點到軸的距離等于.

（1）求的值；

（2）設直線與交于、兩點且在軸的截距為負，過作的垂線，垂足為，若.

（i）證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標；

（ii）求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點（ii）（且）

【解析】

（1）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，根據拋物線的定義得到，，利用建立p的方程，再根據線段的中點到軸的距離等于，有聯立求解.

（2）設的方程為，與拋物線方程聯立，由得到，將韋達定理代入，解得，（i）直線恒過定點.（ii）由知，點在以為直徑的圓上，再根據和斜率存在確定范圍.

（1）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，

因為線段的中點到軸的距離等于，

所以，即，

又因為，所以.

（2）由題意知直線的斜率存在，設的方程為，代入拋物線方程得，

由得，（*），

設，，則.

由得，，即，

把代入得，解得或（舍去），

（i）于是直線恒過定點.

（ii）由知，所以點在以為直徑的圓上，該圓的方程為，

根據（*）得，從而取圓在軸的上方部分，又直線的斜率存在，

因此應剔除與軸的交點，

故點的軌跡方程為（且）.