Question

已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|．

Answer 1

分析：（I）設動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可；
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．分①l的傾斜角為90°，此時l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設l與x軸的交點為Q，根據

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可設l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系利用弦長公式即可得出．

解答：解：（I）由圓M：（x+1）²+y²=1，可知圓心M（-1，0）；圓N：（x-1）²+y²=9，圓心N（1，0），半徑3．
設動圓的半徑為R，
∵動圓P與圓M外切并與圓N內切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（去掉點（-2，0））
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．
①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=2

3

．
②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，
設l與x軸的交點為Q，則

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可設l：y=k（x+4），
由l于M相切可得：

|3k|

1+k2

=1，解得k=±

2

4

．
當k=

2

4

時，聯立

y= 2 4 x+ 2 x2 4 + y2 3 =1

，得到7x²+8x-8=0．
∴x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+( 2 4 )2

(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

18

7

由于對稱性可知：當k=-

2

4

時，也有|AB|=

18

7

．
綜上可知：|AB|=2

3

或

18

7

．

點評：本題綜合考查了兩圓的相切關系、直線與圓相切問題、橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等基礎知識，需要較強的推理能力和計算能力及其分類討論的思想方法．