Question

已知圓M：（x-1）²+（y-1）²=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C使得：∠BAC=60°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是

[1，5]

．

Answer 1

分析：從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，不妨設(shè)切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時(shí)，∠PMQ為120°，所以MA的長(zhǎng)度為4，故可確定點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

解答：解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，不妨設(shè)切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時(shí)，∠PMQ為120°，所以MA的長(zhǎng)度為4，
故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)M的距離為4．
設(shè)A（x₀，6-x₀），則∵M(jìn)（1，1），∴（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是[1，5]
故答案為：[1，5]

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角．