Question

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

bc

b2+c2-a2

=tanA
（1）求角A；
（2）設函數f（x）=sinx+2sinAcosx將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，把所得圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的對稱中心及單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

，再由已知

bc

b2+c2-a2

=tanA 可得sinA=

1

2

，
從而求得 A 的值．
（2）由（1）可得函數f（x）的解析式，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得函數y=g（x）=

2

sin（2x-

π

12

），由此求得函數g（x）的對稱中心．令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，
可得函數y=g（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

，再由已知

bc

b2+c2-a2

=tanA 可得
tanA=

1

2cosA

，sinA=

1

2

，∴A=

π

6

，或 A=

5π

6

．
（2）由（1）可得函數f（x）=sinx+2sinAcosx=

2

sin（x+

π

4

），
將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，可得y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象；
把所得圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）=

2

sin[2（x-

π

6

）+

π

4

]=

2

sin（2x-

π

12

） 的圖象．
令 2x-

π

12

=kπ，k∈z，可得x=

kπ

2

+

π

24

，k∈z，故函數g（x）的對稱中心為（

kπ

2

+

π

24

，0），k∈z．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

24

≤x≤kπ+

7π

24

，k∈z，
故函數y=g（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

24

，kπ+

7π

24

]，k∈z．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的單調性，對稱性，余弦定理的應用，屬于中檔題．