Question

【題目】正數數列{an}的前n項和為Sn ， 已知對于任意的n∈Z+ ， 均有Sn與1正的等比中項等于an與1的等差中項．
（1）試求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ，故 …①，又 …②，

②﹣①得： ，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．

由已知an＞0，∴an+1+an＞0，故an+1﹣an﹣2=0，

即an+1﹣an=2，所以數列{an}為公差d=2的等差數列．

又由 可得：a1=1，∴an=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：由題意可得 ，

∴Tn=b1+b2+…+bn= [1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = [1﹣ ]＜

【解析】（1）由條件等差中項、等比中項的定義，求得：an+1﹣an=2，可得數列{an}為公差d=2的等差數列，再結合a1=1，求得{an}的通項公式．（2）先化簡數列{bn}的通項公式，再利用裂項法求得它的前n項和，可得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．