Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.

（1）求三棱柱的體積.

（2）點在棱上，且與平面所成角的余弦值為（），求的長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）在平面內過作與交于點，推導出平面，利用，解得，由此能求出三棱柱的高，從而可得結果；（2）先利用余弦定理與等腰三角形的性質證明，以為坐標原點，以分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系， ，利用向量垂直數量積為零，求得平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

（1）如圖，在平面內過作與交于點，

因為平面平面，且平面平面，平面，

所以平面，所以為與平面所成角，

由公式，解得，

所以，，

又的面積為，所以三棱柱的體積為.

（2）由（1）得在中，為中點，連接，

由余弦定理得，解得，

所以，（或者利用余弦定理求）

以為坐標原點，以分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，

則，

所以

設 ，設平面的法向量為，

則，即，不妨令，則，即.

，

又因為與平面所成角的余弦值為，

所以 ，

解得或，

又因為，所以.