Question

如圖：D、E分別是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中點，且棱AA₁=8，AB=4，
（1）求證：A₁E∥平面BDC₁．
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證線面平行，關鍵是證線線平行．在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF，可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，所以四邊形EFDA₁是平行四邊形，所以A₁E∥FD，再結合線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）先作出二面角A₁-BC₁-B₁的平面角：A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，過點E作EH⊥BC₁于H，連接A₁H，則∠A₁HE為二面角A₁-BC₁-B₁的平面角，再分別求出EH，A₁E的長，利用正切函數可求．
解答：證明：在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF
則由題意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形EFDA₁是平行四邊形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁
∴A₁E∥平面BDC₁                              …（6分）
（2）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，過點E作
EH⊥BC₁于H，連接A₁H，則∠A₁HE為二面角A₁-BC₁-B₁的平面角        …（8分）
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁邊上的高為，∴EH=，
又A₁E=2，∴tan∠A₁HE=
∴二面角A₁-BC₁-B₁為arctan…（12分）
點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合問題．主要考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵．