Question

如圖：D、E分別是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中點，且棱AA₁=8，AB=4，
（1）求證：A₁E∥平面BDC₁．
（2）求BD與平面CC₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF，通過證出四邊形EFDA₁是平行四邊形，得出A₁E∥FD后，即可證明A₁E∥平面BDC₁
（2）由正棱錐的性質，可以證明A₁E⊥面CC₁B₁B，而由（1）A₁E∥FD，所以FD⊥面CC₁B₁B，BF是BD在平面CC₁B₁B上的射影，∠DBF是BD與平面CC₁B₁B所成 的角．在RT△DFB中求解即可．

解答：（1）證明：在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF，
∵E是 B₁C₁的中點，∴EF是△C₁B₁B的中位線．
則由題意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形EFDA₁是平行四邊形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁
∴A₁E∥平面BDC₁
（2）解：E是正△A₁B₁C₁的邊B₁C₁的中點，
∴A₁E⊥B₁C₁
由正棱錐的性質，面A₁B₁C₁⊥面CC₁B₁B，且面A₁B₁C₁∩面CC₁B₁B=B1C1，
∴A₁E⊥面CC₁B₁B，
由（1）A₁E∥FD，
∴FD⊥面CC₁B₁B，
∴BF是BD在平面CC₁B₁B上的射影，∠DBF是BD與平面CC₁B₁B所成 的角．
∵DF=A₁E=

A1B12-B1E2

=

16-4

=2

3

．
在RT△DAB中，DB=

DA2+AB2

=

42+42

=4

2

．
∴在RT△DFB中，sin∠DBF=

DF

DB

=

2 3

4 2

=

6

4

．

點評：本題考查直線和平面垂直關系的判定，線面角求解．考查空間想象、轉化、計算等能力．