Question

已知橢圓的中心在坐標原點，兩個頂點在直線x+2y-4=0上，F₁是橢圓的左焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點P是橢圓上的一個動點，求線段PF₁的中點M的軌跡方程；
（3）若直線l：y=x+m與橢圓交于點A，B兩點，求△ABO面積S的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由兩個頂點在直線x+2y-4=0上，故分別令x=0，y=0，可得a，b．
（2）由（1）可得：c=

a2-b2

=2

3

，F1(-2

3

，0)．設線段PF₁的中點M（x，y），則P（2x+2

3

，2y）．由點P是橢圓上的一個動點，代入橢圓方程即可．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=x+m x2 16 + y2 4 =1

，消去y得到關于x的一元二次方程，由題意可得△＞0，及根與系數的關系，即可得到|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

．再利用點到直線的距離公式可得點O到直線l的距離d=

|m|

2

．即可得到S_△OAB=

1

2

d•|AB|=

2|m| 20-m2

5

，兩邊平方，再利用基本不等式即可得出其最大值，進而得到直線l的方程．

解答：解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵兩個頂點在直線x+2y-4=0上，∴分別令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由（1）可得：c=

a2-b2

=2

3

．
∴F1(-2

3

，0)．
設線段PF₁的中點M（x，y），則P（2x+2

3

，2y）．
∵點P是橢圓上的一個動點，∴

(2x+2 3 )2

16

+

4y2

4

=1．
化為

(x+ 3 )2

4

+y2=1．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=x+m x2 16 + y2 4 =1

，消去y得到5x²-8mx+4m²-16=0．
∵直線l：y=x+m與橢圓交于點A，B兩點，∴△＞0，即m²＜20．（*）
∴x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-16

5

．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 8m 5 )2-4× 4m2-16 5 ]

=

4 40-2m2

5

．
又點O到直線l的距離d=

|m|

2

．
∴S_△OAB=

1

2

d•|AB|=

2|m| 20-m2

5

，
∴

S

2 △OAB

=

4m2(20-m2)

5

≤

4

5

(

m2+20-m2

2

)2=80，當且僅當m²=10時取等號，滿足（*）．
∴S△OAB≤4

5

．
∴△ABO面積S的最大值為4

5

．
此時直線l的方程為y=x±

10

．

點評：本題中考查了橢圓的方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．