Question

設f′（x）和g′（x）分別是f（x）和g（x）的導函數，若f′（x）g′（x）≤0在區間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區間I上單調性相反．若函數f（x）=

1

3

x³-2ax與g（x）=x²+2bx在開區間（a，b）上單調性相反（a＞0），則b-a的最大值為

1

2

．

Answer 1

分析：由條件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，從而求出a、b的取值范圍，建立b-a的表達式，求出最大值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³-2ax，g（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=x²-2a，g′（x）=2x+2b；
由題意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x²-2a≤0恒成立，即-

2a

≤x≤

2a

；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤

2a

，
即0＜a≤

2a

，解得0＜a≤2；
∴b-a≤

2a

-a=-(

a

-

2

2

)2+

1

2

，
當a=

1

2

時，取“=”，
∴b-a的最大值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了利用導數判定函數的單調性問題，也考查了不等式的解法問題，是易錯題．