Question

【題目】已知函數，（為自然對數的底數）.

（1）求曲線在處的切線的方程；

（2）若對于任意實數，恒成立，試確定的取值范圍；

（3）當時，函數在上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）不存在,理由見解析

【解析】

(1) 求得的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程;

(2) 討論和，由參數分離和構造函數,求出導數，單調區間，可得最值，進而

得到所求的范圍;

(3)依題意,，求出導數，可令， 求得導數和單調區間、可得最值，進而得到M(x)的單調性，即可判斷存在性.

（1），.

在處的切線斜率為，

∴切線的方程為，即.

（2）∵對于任意實數，恒成立，

∴若，則為任意實數時，恒成立；

若，恒成立，即，在上恒成立，

設，則，

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減；

所以當時，取得最大值，，

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實數，恒成立的實數的取值范圍為.

（3）依題意，，所以，

設，則，當，

故在上單調增函數，因此在上的最小值為，

即，又，所以在上，

，即在上不存在極值.