Question

【題目】已知函數，為常數，若當時，有三個極值點（其中）.

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

(1)對函數求導,由于函數在上有三個極值點在上三個實數根,令在有兩個不為1的且不相等的實數根,然后利用數形結合轉化成函數的交點問題來解決即可.

(2)由(1)可得出結果令,表示出,用綜合分析法借助導函數的單調性證明.

(1)由,為常數,得,

由于函數在上有三個極值點,得在上三個實數根,

當=1時,成立,所以令,得在有兩個不為1的且不相等的實數根,令,, 在上,兩個函數圖像如圖所示:

當,,圖像相切時設切點為M(),由,

,解得即得坐標M(1,1),即得,

由圖像可知:N,所以,

當在有兩個實數根時,,的圖像在上有兩個交點,所以得，此時，，

即得的取值范圍為:.

(2) 由(1)得在有兩個實數根即得,

且,即得,

要證,即

由得

設,,,∴,

聯立,得:,∴, ∴要證,只需,

則有:,即,則需證明

令,即需證明

因為恒成立,

所以在,上是單調遞減函數,則有

即成立,所以,即得以證明.