Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）討論f(x)的單調(diào)性；

（II）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))。

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng) 時，<0，單調(diào)遞減；當(dāng) 時，>0，單調(diào)遞增;(2) .

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導(dǎo)，再對a進行討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）

<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.

由=0，有.

此時，當(dāng) 時，<0，單調(diào)遞減；

當(dāng) 時，>0，單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令=，=.

則=.

而當(dāng)時，>0，

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又由=0，有>0，

從而當(dāng)時，>0.

當(dāng)，時，=.

故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.

當(dāng)時，>1.

由（Ⅰ）有,從而，

所以此時>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時，令，

當(dāng)時，，

因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.

又因為，所以當(dāng)時，，即恒成立.

綜上，.