Question

（2012•臨沂一模）已知函數f(x)=1-

a

x+1

-ln(x+1)，（a為常實數）．
（1）若函數f（x）在區間（-1，1）內無極值，求實數a的取值范圍；
（2）已知n∈N^*，求證：ln(n+1)＞n-2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)．

Answer 1

分析：（1）求導函數，函數f（x）在區間（-1，1）內無極值，等價于f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0，從而可求實數a的取值范圍；
（2）令a=2，可得f(x)=1-

2

x+1

-ln(x+1)，當x∈N^*時，f（x）＜0令x+1=

n+1

n

，則f(

1

n

)=1-

2

1 n +1

-ln(

1

n

+1)，可得ln（n+1）-lnn＞1-

2n

n+1

，n分別取1，2，…，n，疊加即可得到結論．

解答：（1）解：求導函數，可得f'（x）=

a

(x+1)2

-

1

x+1

∵函數f（x）在區間（-1，1）內無極值
∴f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0
∴

a

(x+1)2

-

1

x+1

＞0或

a

(x+1)2

-

1

x+1

＜0在區間（-1，1）內恒成立
∴a＞x+1或a＜x+1在區間（-1，1）內恒成立
∴a≥2或a≤0
（2）證明：令a=2，可得f(x)=1-

2

x+1

-ln(x+1)，當x∈N^*時，f（x）＜0
令x+1=

n+1

n

，則f(

1

n

)=1-

2

1 n +1

-ln(

1

n

+1)
∴ln(

1

n

+1)＞1-

2

1 n +1

∴ln（n+1）-lnn＞1-

2n

n+1

n分別取1，2，…，n，疊加可得ln(n+1)＞n-2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，解題賦值是關鍵．