Question

設

a

，

b

，

c

都是單位向量，且

a

與

b

的夾角為

2

3

π，則(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值為______．

Answer 1

∵單位向量

a

與

b

的夾角為

2

3

π，∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos

2

3

π=-

1

2

可得(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×（-

1

2

）+1=1
∴|

a

+

b

|=1
因此，(

a

+

b

)•

c

=|

a

+

b

|•|

c

|•cosθ≤|

a

+

b

|•|

c

|=1
∵(

c

-

a

)•(

c

-

b

)=

c

2-（

a

+

b

）•

c

+

a

•

b

=1-（

a

+

b

）•

c

+（-

1

2

）=

1

2

-(

a

+

b

)•

c

∴(

c

-

a

)•(

c

-

b

)≥

1

2

-1=-

1

2

，
當且僅當

a

+

b

與

c

共線方向相同時，(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值為-

1

2

故答案為：-

1

2