Question

設(shè)

a

，

b

，

c

都是單位向量，且

a

與

b

的夾角為

2

3

π，則(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值為

-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)單位向量

a

與

b

的夾角為

2

3

π算出

a

的

b

數(shù)量積，進(jìn)而得到|

a

+

b

|=1．由此結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得(

a

+

b

)•

c

≤|

a

+

b

|•|

c

|=1，再將展開化簡得(

c

-

a

)•(

c

-

b

)=

1

2

-(

a

+

b

)•

c

，因此可得(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值．

解答：解：∵單位向量

a

與

b

的夾角為

2

3

π，∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos

2

3

π=-

1

2

可得(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×（-

1

2

）+1=1
∴|

a

+

b

|=1
因此，(

a

+

b

)•

c

=|

a

+

b

|•|

c

|•cosθ≤|

a

+

b

|•|

c

|=1
∵(

c

-

a

)•(

c

-

b

)=

c

2-（

a

+

b

）•

c

+

a

•

b

=1-（

a

+

b

）•

c

+（-

1

2

）=

1

2

-(

a

+

b

)•

c

∴(

c

-

a

)•(

c

-

b

)≥

1

2

-1=-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

+

b

與

c

共線方向相同時(shí)，(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值為-

1

2

故答案為：-

1

2

點(diǎn)評：本題給出3個(gè)單位向量中的兩個(gè)夾角為

2π

3

，求(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值．著重考查了平面向量數(shù)量積計(jì)算公式、模的計(jì)算公式及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．