Question

已知函數f（x）=sin（2x+θ）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）問是否存在一個角θ，使得函數f（x）為偶函數？若存在請寫出這樣的角θ，并加以說明；若不存在，也請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式對 函數化簡可得f(x)=sin(2x+θ)+

3

 [1+cos(2x+θ )]-

3

=2sin(2x+θ+

π

3

)，由周期公式可求T
（2）假設f（x）為偶函數，則有f（-x）=f（x），即2sin(2x+θ+

π

3

)=2sin(θ+

π

3

-2x)對任意的x恒成立，從而可求θ

解答：解：（1）∵f(x)=sin(2x+θ)+

3

 [1+cos(2x+θ )]-

3

=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)
=2sin(2x+θ+

π

3

)
∴T=

2π

2

=π
（2）假設f（x）為偶函數，則有f（-x）=f（x）
∴2sin(2x+θ+

π

3

)=2sin(θ+

π

3

-2x)
∴sin2xcos(θ+

π

3

)+sin(θ+

π

3

)cos2x=sin(θ+

π

3

)cos2x-cos(θ+

π

3

)sin2x
∴2sin2xcos(θ+

θ

3

)=0對任意的x恒成立
∴θ+

π

3

=kπ+

π

2

∴θ=kπ+

π

6

，k∈Z
故存在θ=kπ+

π

6

，k∈Z，使得函數f（x）為偶函數

點評：本題主要考查了利用輔助角公式對三角函數進行化簡，進而求解三角函數的周期，及利用偶函數的定義求解三角函數的初相θ