Question

【題目】已知函數，函數的圖象在點處的切線方程為.

（1）討論的導函數的零點的個數；

（2）若，且在上的最小值為，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）當時，存在唯一零點，當時，無零點.（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意得的定義域為，，然后分和兩種情況討論即可

（2）先由條件求出，然后要證，即證，令，然后利用導數得出即可

（1）由題意，得的定義域為，.

顯然當時，恒成立，無零點.

當時，取，

則，即單調遞增，

又，，

所以導函數存在唯一零點.

故當時，存在唯一零點，當時，無零點.

（2）由（1）知，當時，單調遞增，所以，所以.

因為，函數的圖象在點處的切線方程為，

所以，所以.

又，所以，所以.

根據題意，要證，即證，只需證.

令，則.

令，則，

所以在上單調遞增.

又，，

所以有唯一的零點.

當時，，即，單調遞減，

當時，，即，單調遞增，

所以.

又因為，所以，所以，

故.