Question

已知曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）以曲線c的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求•的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件，建立方程，化簡，即可求曲線c的軌跡方程；
（2）用坐標表示出向量的數量積，再用配方法求最值，求出M的坐標，代入圓的方程，即可求得結論．
解答：解：（1）因為曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數
所以，
所以橢圓的標準方程為．
（2）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以．
由已知T（-2，0），則=（x₁+2，y₁），=（x₁+2，-y₁），
∴•=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+）²-．
由于-2＜x₁＜2，故當x₁=-時，•取得最小值為-．
此時，y₁=，故M（-），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量的數量積公式，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．