Question

已知曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動點P（x，y）到定點F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數，建立方程，化簡，即可得到橢圓的標準方程；
（2）由題意，可知斜率k存在，設l：y-=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，即可求直線的斜率，從而可得直線的方程；
（3）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0，用坐標表示出，利用配方法，確定最小值為-，可得M的坐標，從而可求圓T的方程．
解答：解：（1）∵動點P（x，y）到定點F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數．
∴；
所以橢圓的標準方程為．
（2）由題意，可知斜率k存在，設l：y-=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
因為過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，所以，解得k=-．
此時△＞0，所以直線l：y-=（x-1），即l：y=．
（3）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以．
由已知T（-2，0），則，，
∴=．
由于-2＜x₁＜2，故當x₁=-時，取得最小值為-．
此時，故M（-，），又點M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．