Question

（2012•崇明縣二模）已知曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（

3

，0）與定直線l₁：x=

4 3

3

的距離之比為常數

3

2

．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

分析：（1）利用動點P（x，y）到定點F₁（

3

，0）與定直線l₁：x=

4 3

3

的距離之比為常數

3

2

，建立方程，化簡，即可得到橢圓的標準方程；
（2）由題意，可知斜率k存在，設l：y-

1

2

=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，即可求直線的斜率，從而可得直線的方程；
（3）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0，用坐標表示出

TM

•

TN

，利用配方法，確定最小值為-

1

5

，可得M的坐標，從而可求圓T的方程．

解答：解：（1）∵動點P（x，y）到定點F₁（

3

，0）與定直線l₁：x=

4 3

3

的距離之比為常數

3

2

．
∴

(x-3)2+y2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

；
所以橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由題意，可知斜率k存在，設l：y-

1

2

=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
因為過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，所以

4k(2k-1)

1+4k2

=1，解得k=-

1

2

．
此時△＞0，所以直線l：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即l：y=-

1

2

x+1．
（3）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．
由已知T（-2，0），則

TM

=(x1+2，y1)，

TN

=(x1+2，-y1)，
∴

TM

•

TN

=(x1+2，y1)•(x1+2，-y1)=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故當x₁=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
此時y1=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．