Question

（1）已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，實(shí)數(shù)a，b，c，n，p，q
滿足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求證：．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為非零常數(shù)，θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說(shuō)明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）解法一，利用絕對(duì)值的幾何意義，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求m的值；
解法二：利用絕對(duì)值的性質(zhì)，可得結(jié)論；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明；
（2）（Ⅰ）消去參數(shù)θ，可得普通方程；
（Ⅱ）直線與切線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識(shí)，可求實(shí)數(shù)t的值．
解答：（1）（Ⅰ）解法一：，可得函數(shù)的最小值為2．故m=2．
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)2≤x≤4時(shí)，等號(hào)成立，故m=2．
（Ⅱ）證明：∵
∴（n²+p²+q²）²=4，故．
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．…1分
①當(dāng)t=±1時(shí)，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；  …2分
②當(dāng)t≠±1時(shí)，曲線C為中心在原點(diǎn)的橢圓．…3分
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…4分
聯(lián)立直線與曲線的方程，消y得，化簡(jiǎn)得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．
又，…6分
故=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾．故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)t．…7分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式的運(yùn)用，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．