Question

【題目】如圖，點P在△ABC內，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，記∠B=α．

（1）試用α表示AP的長；
（2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫出此時α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC與△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，

由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①

AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②

由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），

解得：AP=3﹣4cosα

（2）解：∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），

∴S四邊形ABCP=S△ABC﹣S△APC

= ×2×3sinα﹣ ×2×APsin（π﹣α）

=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα

=4sinαcosα=2sin2α，α∈（0，π），

則當α= 時，Smax=2

【解析】（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出關系式，記作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出關系式，記作②，由①②消去AC，得到關于AP的方程，整理后可用α表示AP的長；（2）由三角形的面積公式表示出三角形ABC及三角形APC的面積，兩三角形面積之差即為四邊形ABCP的面積，整理后將表示出的AP代入，根據正弦函數的圖象與性質即可求出四邊形ABCP的面積的最大值，以及此時α的值．
【考點精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定理:;;．