Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣1﹣x．
（1）若存在x∈[﹣1，ln ]，滿足a﹣ex+1+x＜0成立，求實數a的取值范圍．
（2）當x≥0時，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a﹣ex+1+x＜0，

∴a＜ex﹣1﹣x，

∴a＜f（x），f'（x）=ex﹣1=0，

∴x=0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，

x∈[﹣1，ln ]，故最大值應在端點處，

∵f（﹣1）= ，f（ln ）= ﹣1﹣ln ＜ ，

∴a＜

（2）解：當x≥0時，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，

∴ex﹣1﹣x≥（t﹣1）x，

∴ex﹣1﹣tx≥0恒成立，

令g（x）=ex﹣1﹣tx，g'（x）=ex﹣t，

若t≤1，則當x≥0時，g'（x）＞0，且g（0）=0，

∴當x≥0時，g（x）≥0恒成立，

∴f（x）≥（t﹣1）x恒成立，

若t＞1，則當x∈（0，lnt）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，g（0）=0，

∴當x∈（0，lnt）時，g（x）＜0．

故不復合題意，

故t的范圍為t≤1

【解析】（1）不等式可整理為a＜ex﹣1﹣x，只需求出右式在區間內的最大值即可；（2）不等式整理為ex﹣1﹣tx≥0恒成立，構造函數g（x）=ex﹣1﹣tx，求出導函數g'（x）=ex﹣t，對t分類，通過單調性得出t的范圍．