Question

【題目】如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，平面平面，是邊長為的正三角形，直線與平面所成角為.

（I）求證：；

（Ⅱ）若，四邊形為平行四邊形，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）過作交于點，連接，先證明平面，再由平面，得出。

（Ⅱ）以，，為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量、，再由 得出平面與平面所成銳二面角的余弦值。

證明：（I）過作交于點，連接，

由平面平面，得平面，∴，

又，，∴，∴.

由直線與平面所成角為，易得，

由，得，又，得.

由，，，平面，得平面，平面，∴.

（Ⅱ）由（I），，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由題意，，∴，

四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，平面平面，∴，.

，，，，，，

，，，，

設平面的法向量為，由，得，取，得，

設平面的法向量為，，，取，，

，∴所求銳二面角的余弦值為.