Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為BC的中點，F(xiàn)在邊CD上，

AB

•

AF

=

2

，則

AE

•

BF

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，做出要用的向量的模長，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應用垂直的向量數(shù)量積等于0，得到結(jié)果．

解答：解：由題意可得，

AF

=

AD

+

DF

 

AE

，=

AB

+

BE

，

BF

=

BC

+

CF

，且

AB

⊥

BC

，

BE

⊥

CF

．
∵

AB

•

AF

=

AB

•（

AD

+

DF

）=0+

AB

•

DF

=|

AB

|•|

DF

|=2|

DF

|=

2

，∴|

DF

|=

2

2

．
又∵

AE

•

BF

=（

AB

+

BE

）•（

BC

+

CF

）=0+

AB

•

CF

+

BE

•

BC

+0=-|

AB

|•|

CF

|+|

BE

|•|

BC

|
=-2（2-|

DF

|）+

1

2

×1=-4+2×

2

2

+

1

2

=-

7

2

+

2

，
故答案為-

7

2

+

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，解題的關鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，屬于中檔題目．