Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=a（a＞2），E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD上的點，若AE=AF=CG=CH，問AE取何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求最大的面積．

Answer 1

分析：設AE=x，四邊形EFGH的面積為S，則可知S=2a-x²-（2-x）（a-x），化簡并配方得S=-2(x-

a+2

4

)2+

(a+2)2

8

，x∈（0，2]，即函數的對稱軸為x=

a+2

4

，從而分類討論可求函數的最大值．

解答：解：設AE=x，四邊形EFGH的面積為S，則-----------------------------------------（1分）
S=2a-x²-（2-x）（a-x）
=-2x²+（a+2）x
=-2(x-

a+2

4

)2+

(a+2)2

8

，x∈（0，2]
（1）若

a+2

4

≤2，即2＜a≤6，則當x=

a+2

4

時，S取得最大值是Smax=

(a+2)2

8

；--（8分）
（2）若

a+2

4

＞2，即a＞6，函數S=-2x²+（a+2）x在區間（0，2]上是增函數，
則當x=2時，S取得最大值是S_max=2a-4；------（12分）
綜上可得面積EFGH的最大值為

(a+2)2 8        ，2＜a≤6 2a-4               ，a＞6

．

點評：本題以實際問題為載體，考查二次函數模型的構建，考查二次函數在閉區間上的最值討論，解題的關鍵是針對函數的定義域，結合函數的對稱軸分類討論．