【題目】已知函數(shù)
在點
處的切線與直線
垂直.（注： 
為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求
的值；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）求證：當
時， 
恒成立.
【答案】（1）
；（2）
；（3）詳見解析.
【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直的條件，可得
的方程，解出即可；（2）求出單調(diào)區(qū)間可得極值點1，令
，可得
取值范圍；（3）當
時， 
，令
，運用二次求導可得函數(shù)
，得結(jié)論.
試題解析：（1）因為
，所以
，
又據(jù)題意，得
，所以
，所以
.
（2）
，
當
時， 
， 
為增函數(shù)，
當
時， 
， 
為減函數(shù).
所以函數(shù)
僅當
時，取得極值.
又函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，所以
，所以
.
故實數(shù)
的取值范圍是
.
（3）當
時， 
，令
，則
，
再令
，則
，
又因為
，所以
.
所以
在
上是增函數(shù)，
又因為
，
所以當
時， 
.
所以
在區(qū)間
上是增函數(shù).
所以當
時， 
，又
，∴
恒成立，即原不等式成立.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=
（n∈N+），
（1）計算a2、a3、a4并由此猜想通項公式an；
（2）證明（1）中的猜想．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數(shù)
在
處取得極值，且在
點處的切線與直線
平行．
(1）求
的解析式；
(2）求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間及極值。
(3）求函數(shù)
在
的最值。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名青少年進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
常喝 | 不常喝 | 總計 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
總計 | 30 |
已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為
．
（1）請將列聯(lián)表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？
獨立性檢驗臨界值表：
P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中n=a+b+c+d．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某中學數(shù)學老師分別用兩種不同教學方式對入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數(shù)均為20人）進行教學（兩班的學生學習數(shù)學勤奮程度和自覺性一致），數(shù)學期終考試成績莖葉圖如下：
（1）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>
聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關(guān)”．
附：參考公式及數(shù)據(jù)
（2）從兩個班數(shù)學成績不低于90分的同學中隨機抽取3名，設
為抽取成績不低于95分同學人數(shù)，求
的分布列和期望．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校隨機調(diào)查了80位學生，以研究學生中愛好羽毛球運動與性別的關(guān)系，得到下面的
列聯(lián)表：
愛好 | 不愛好 | 合計 | |
男 | 20 | 30 | 50 |
女 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 30 | 50 | 80 |
（Ⅰ）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查了本校的3名學生，設這3人中愛好羽毛球運動的人數(shù)為
，求
的分布列，數(shù)學期望及方差；
（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有充分證據(jù)判斷愛好羽毛球運動與性別有關(guān)？若有，有多大把握？
| 0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附：
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前n項和
， 
是等差數(shù)列，且
.
（Ⅰ）求數(shù)列
的通項公式；
（Ⅱ）令
.求數(shù)列
的前n項和
.
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