Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t為常數）；l₂：x=2．若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁、y軸所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求a，b，c的值；
（2）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（3）求函數S（t）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意建立關于a、b、c的方程組，解之即可得到a、b、c的值；
（2）聯解方程組得出直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標，從而得到S（t）關于t的積分函數關系式，利用定積分計算公式即可算出S（t）=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

；
（3）求導數：S'（t）=-4t²+20t-16，列表給出導數的分布與原函數的單調性的關系，得到S（t）的單調增區間和減區間，從而得到函數S（t）的最大值、最小值．

解答：解：（1）根據題意，結合圖形可得

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

，解之得：

a=-1 b=8 c=0

∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x
（2）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

，得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2．…（6分）
∴直線l₁與函數f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t²+8t），
由定積分的幾何意義知：
S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx
=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

，（其中0≤t≤2）…（9分）
所以S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

（0≤t≤2）
（3）由（2）知，S'（t）=-4t²+20t-16，
令S'（t）=-4（t-1）（t-4）=0，得t=1，或t=4．
因此，當S'（t）＜0時，即有t＞4，或t＜1；…（11分）
當S'（t）＞0時，有1＜t＜4．所以，當t在[0，2]內變化時，S'（t），S（t）的變化情況如下表：

t	[0，1）	1	（1，4]
S'（t）	-	0	+
S（t）	單調遞減	6	單調遞增

因此，當時，S（t）有極小值，且極小值為S（1）=6，
又由于S(0)=

40

3

，S(2)=

32

3

…（14分）
因此S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

在[0，2]上的最大值是

40

3

，最小值是6．

點評：本題著重考查了二次函數的圖象與性質、定積分的幾何意義和定積分計算公式和利用導數研究函數的單調性與最值等知識，屬于中檔題．