Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-1，則x∈[-4，0]時f（x）的表達式f（x）=

 

．

Answer 1

分析：利用函數的周期性解決本題．關鍵要得出函數在一個周期上的解析式，然后將這個區間上的解析式轉化到所求的區間．注意奇偶性的應用．

解答：解：函數y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
得出f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=f（x），
故該函數是周期為4的函數．
由于該函數又是偶函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-1，
故當x∈[-2，0]時，f（x）=f（-x）=-2x-1，
當x∈[-4，-2]時，x+4∈[0，2]，因此f（x）=f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
因此，x∈[-4，0]時f（x）的表達式f（x）=

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

．
故答案為：

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

．

點評：本題考查函數周期性和奇偶性的關系，考查函數周期性的確定，考查利用函數奇偶性寫函數的解析式，考查分段函數求函數的解析式，屬于中檔題．