Question

已知點 P 在雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1上，并且 P 到這條雙曲線的右準線的距離恰是 P 到這條雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，那么，P的橫坐標是

-

64

5

．

Answer 1

分析：先確定P在雙曲線的左支上，利用雙曲線的定義及P到這條雙曲線的右準線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，求出點P到右準線l的距離，從而可求P的橫坐標．

解答：解：記半實軸、半虛軸、半焦距的長分別為a、b、c，離心率為e，點P到右準線l的距離為d，則a=4，b=3，c=5，
∴e=

c

a

=

5

4

，右準線l為x=

a2

c

=

16

5

．
如果P在雙曲線右支，則|PF₁|=|PF₂|+2a=ed+2a．
從而，|PF₁|+|PF₂|=（ed+2a）+ed=2ed+2a＞2d，這不可能；
故P在雙曲線的左支，則|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|+|PF₂|=2d．
兩式相加得2|PF₂|=2a+2d．
又|PF₂|=ed，從而ed=a+d．
故d=

q

e-1

=

4

5 4 -1

=16．
因此，P的橫坐標為

16

5

-16=-

64

5

．

點評：本題考查雙曲線的定義，考查等差數列知識，考查學生分析、計算的能力，正確運用雙曲線的定義是關鍵．