Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，且過點（4，3）．
（1）求雙曲線C的標準方程和焦點坐標；
（2）已知點P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，求點P到x軸的距離．

Answer 1

分析：（1）通過離心率與點在雙曲線上，得到兩個方程，求出a，b，即可求雙曲線C的標準方程和焦點坐標；
（2）利用點P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，勾股定理與雙曲線的定義列出方程，利用三角形的面積，求點P到x軸的距離．

解答：解：（1）∵e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=2∴a²=b²
∴雙曲線C：

x2

a2

-

y2

a2

=1…（2分）
將點（4，3）代入得a²=b²=1…（4分）
∴雙曲線C的標準方程為x²-y²=1，焦點坐標為F₁（-

2

，0）和F₂（

2

，0）…（6分）
（2）由已知得

|F1P|2+|F2P|2=8 ||F1P|-|F2P||=2

∴|F₁P|•|F₂P|=2…（9分）
所以點P到x軸的距離為

|F1P|•|F2P|

|F1F2|

=

2

2 2

=

2

2

．…（12分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質，考查計算能力．