Question

【題目】順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形。

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線，的斜率之積為（以為坐標(biāo)原點(diǎn)），線段上有一點(diǎn)滿足，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求橢圓的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿足橢圓方程，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)變形，即可得到所求值．

（1）由題可知，，

解得，.

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，，，

∵，∴，

∴，.

又∵，∴，

即，.

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

即.

∵,在橢圓上，∴，① .②

又直線，斜率之積為，∴，即，③

將①②③代入得，解得.