Question

設函數f（x）=|2x-1|．
（I）不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，求a值；
（Ⅱ）若g（x）=

1

f(x)+f(x-1)+m

的定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的定義域及其求法

專題：不等式的解法及應用

分析：（I）不等式f（x）≤a等價于-a≤2x-1≤a，而f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，于是可求得a值；
（Ⅱ）由g（x）的定義域為R知，|2x-1|+|2x-3|=-m沒有實數根，利用絕對值三角不等式易求|2x-1|+|2x-3|≥2，從而解不等式-m＜2即可．

解答： （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（I）不等式f（x）≤a等價于-a≤2x-1≤a，即

1-a

2

≤x≤

1+a

2

，
∵不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，
∴

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，解得a=1；   …（5分）
（II）g（x）=

1

f(x)+f(x-1)+m

=

1

|2x-1|+|2x-3|+m

，
∵g（x）的定義域為R，∴|2x-1|+|2x-3|=-m沒有實數根，
∵|2x-1|+|2x-3|≥|（2x-1）-（2x-3）|=2，當

1

2

≤x≤

3

2

時取等號，
∴-m＜2，實數m的取值范圍是（-2，+∞）．      …（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想與絕對值三角不等式的綜合應用，屬于中檔題．