Question

設平面內兩向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），且α+β=

π

2

，又k與t是兩個不同時為零的實數．
（Ⅰ）若

x

=

a

+（t-3）

b

與

y

=-k

a

+t

b

垂直，求k關于t的函數表達式k=f（t）；
（Ⅱ）求函數k=f（t）的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題

分析：（1）利用向量數量積的坐標運算，結合

x

•

y

=0，得出k，f關系式，分離k得出k=f（t）
（2）由（1）k=f（t）=

t(t-3)

4

，利用二次函數性質求最小值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），
∴

a

•

b

=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos（α+β）=0
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即-k

a

²+t（t-3）

b

²=0，
化簡-4k+t（t-3）=0，
∴k=f（t）=

t(t-3)

4

（2）k=f（t）=

1

4

[（t-

3

2

）²-

9

4

]，當t=

3

2

時，f（t）的最小值為-

9

16

．

點評：本題考查向量的坐標運算，函數思想，及函數最值求解．難度不大．