Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，前n和為Sn ， 且Sn= （n∈N*）．
（1）求證：數列{an}是等差數列；
（2）設bn=an3n ， 求數列{bn}的前n項的和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：當n≥2時， ．…①

…②

①﹣②得： ，

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）．

∵數列{an}的各項均為正數，即an+an﹣1≠0，

∴an﹣an﹣1=1（n≥2）．

當n=1時， ，得 ，

由a1＞0，得a1=2，…（4分）

∴數列{an}是首項為2，公差為1的等差數列．

（2）

解：由（1）得an=2+（n﹣1）×1=n+1

∴

…（1）

…+n×3n+（n+1）×3n+1…（2）

（1）﹣（2）得

∴

∴

【解析】（1）當當n≥2時，求得Sn及Sn﹣1 ， 做差求得： 整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）由an+an﹣1≠0，即可得到an﹣an﹣1=1，當n=1時，求得a1=2即可得數列{an}是等差數列；（2）由（1）求得數列{an}的通項公式，數列{bn}的前n項和Tn ， 采用乘以公比“錯位相減法”，即可求得Tn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：或，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．