Question

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωx•sin(ωx+

π

2

)（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)解析式需要利用倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式進行化簡，再由周期公式T=

2π

ω

求出ω的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出的解析式，由x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（Ⅲ）根據(jù)圖象的變換過程，先周期變換再相位變換，最后上下平移，注意左右平移的單位長度．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωx•cosωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

（3分）
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1（14分）
（Ⅱ）解：f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x∈[0，

4π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)∈[0，

3

2

]（7分）
即f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[0，

3

2

]．（8分）
（Ⅲ）解：把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），
再把所得函數(shù)的圖象向右平移

π

12

個單位，
再把所得函數(shù)的圖象向上平移

1

2

個單位，可得到f（x）的圖象．（12分）

點評：本題的考點是圖象的變換和解析式的求法，應先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點有倍角公式和兩角和的正弦公式，圖象變換法則和正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了整體思想．