Question

過直線y=-m（m為大于0的常數）上一動點Q作x軸的垂線，與拋物線C：y=x²相交于點P，拋物線上兩點A、B滿足
（1）求證：直線AB與拋物線C在點P處的切線平行，且直線AB恒過定點；
（2）是否存在實數m，使得點Q在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，-m），P（x，x²），，，，由，得（*）．聯立直線AB和拋物線C方程，得x²-kx-b=0，由此入手能夠證明直線AB恒過定點（0，m）．
（2）由=，=．知，由此能夠導出存在實數，使得Q點在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB．
解答：（1）證明：設直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵Q（x，-m），P（x，x²），
∴，，，
由，得
（*）
聯立直線AB和拋物線C方程：
，得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=k²+2b，y₁y₂=（x₁x₂）²=b²，
代入（*）式，可得，
∵y′=2x，
∴拋物線C在點P處的切線斜率為2x=k，
故直線AB與拋物線C在點P處的切線平行．
∵直線AB：y=kx+m，且m為常數，
∴直線AB恒過定點（0，m）．
（2）解：∵=，
=．
∴，
∴當時，恒有．
故存在實數，使得Q點在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB．
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．