Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（實數a，b，c為常數）的圖象過原點，且在x=1處的切線為直線y=-

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2

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若常數m＞0，求函數f（x）在區間[-m，m]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點，
∴f（0）=c=0，
求導函數可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1處的切線為直線y=-

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2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增；在（0，1）上單調遞減，
∴函數在x=0處取得極大值0，
令f（x）=x³-

3

2

x²=0，可得x=0或x=

3

2

，
∴0＜m＜

3

2

時，f（m）＜0，函數在x=0處取得最大值0；
m≥

3

2

時，f（m）≥0，函數在x=m處取得最大值m3-

3

2

m2．