Question

過直線y=-m（m為大于0的常數）上一動點Q作x軸的垂線，與拋物線C：y=x²相交于點P，拋物線上兩點A、B滿足

PA

+

PB

=2

QP

（1）求證：直線AB與拋物線C在點P處的切線平行，且直線AB恒過定點；
（2）是否存在實數m，使得點Q在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，-m），P（x₀，x₀²），

PA

=(x1-x0，y1-x02)，

PB

=( x2-x0，y0-x02)，

QP

=(0，x02+m)，由

PA

+ 

PB

=2

QP

，得

x1+x2=2x0 y1 +y2=4x02+2m

（*）．聯立直線AB和拋物線C方程，得x²-kx-b=0，由此入手能夠證明直線AB恒過定點（0，m）．
（2）由

QA

=(x1- x0 ， y1+m)=(x1-

k

2

，y1+m)，

QB

=(x2-x0， y2+m)=(x2-

k

2

，y2+m)．知

QA

•

QB

=(m-

1

4

) k2+4m2-m，由此能夠導出存在實數m=

1

4

，使得Q點在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB．

解答：（1）證明：設直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵Q（x₀，-m），P（x₀，x₀²），
∴

PA

=(x1-x0，y1-x02)，

PB

=( x2-x0，y0-x02)，

QP

=(0，x02+m)，
由

PA

+ 

PB

=2

QP

，得

x1+x2=2x0 y1 +y2=4x02+2m

（*）
聯立直線AB和拋物線C方程：

y=kx+b y=x2

，得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=k²+2b，y₁y₂=（x₁x₂）²=b²，
代入（*）式，可得

x0= k 2 b=m

，
∵y′=2x，
∴拋物線C在點P處的切線斜率為2x₀=k，
故直線AB與拋物線C在點P處的切線平行．
∵直線AB：y=kx+m，且m為常數，
∴直線AB恒過定點（0，m）．
（2）解：∵

QA

=(x1- x0 ， y1+m)=(x1-

k

2

，y1+m)，

QB

=(x2-x0， y2+m)=(x2-

k

2

，y2+m)．
∴

QA

•

QB

=(m-

1

4

) k2+4m2-m，
∴當m= 

1

4

時，恒有

QA

•

QB

=0．
故存在實數m=

1

4

，使得Q點在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB．

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．