Question

已知直線l₁為曲線y=x²在點（1，1）處的切線，l₂為該曲線的另一條切線，且l₁⊥l₂．
（1）求直線l₁與l₂的方程；
（2）求直線l₁，l₂與x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）先求曲線y=x²的導數，則曲線在點（1，1）處的切線斜率為f′（1），再用點斜式求出切線方程即可．因為l₁⊥l₂，可以求出直線l₂的斜率，再根據切線的斜率是曲線在切點處的導數，就可求出直線l₂與曲線你相切的切點坐標，利用點斜式求出切線方程．
（2）分別求出直線l₁，l₂的交點坐標，直線l₁與x軸的交點坐標，直線l₂與x軸的交點坐標，就可用三角形的面積公式求出直線l₁，l₂與x軸所圍成的三角形的面積．

解答：解：（1）f′（x）=2x，∴f′（1）=2
∴直線l₁的方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1
設l₂與曲線y=x²相切的切點為（x₁，y₁），∵l₁⊥l₂．
∴f′（x₁）=2x₁=-

1

2

，∴x₁=-

1

4

，∴y₁=x₁²=

1

16

，
∴直線l₂的方程為y-

1

16

=-

1

2

（x+

1

4

），即y=-

1

2

x-

1

16

（2）由

y=2x-1 y=- 1 2 x- 1 16

得直線l₁與l₂的交點坐標為（

3

8

，-

1

4

），
又直線l₁，l₂與x軸的交點分別為（

1

2

，0），（-

1

8

，0）
∴所求三角形的面積S=

1

2

|

1

2

-（-

1

8

）|×|-

1

4

|=

5

64

．

點評：本題主要考查曲線的切線斜率與曲線在切點處的導數的關系，直線方程的求法，以及直線交點的求法，屬于直線方程的綜合題．