Question

已知直線l₁為曲線y=x²+x-2在點（1，0）處的切線，l₂為該曲線的另一條切線，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直線l₂的方程；
（Ⅱ）求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（I）欲求直線l₂的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合l₁⊥l₂即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先通過解方程組得直線l₁和l₂的交點的坐標和l₁、l₂與x軸交點的坐標，最后根據三角形的面積公式教育處所求三角形的面積即可．

解答：解：（I）y′=2x+1．
直線l₁的方程為y=3x-3．
設直線l₂過曲線y=x²+x-2上的點B（b，b²+b-2），則l₂的方程為y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）
因為l₁⊥l₂，則有k₂=2b+1=-

1

3

，b=-

2

3

．
所以直線l₂的方程為y=-

1

3

x-

22

9

．
（II）解方程組

y=3x-3 y=- 1 3 x- 22 9

得

x= 1 6 y=- 5 2 .

所以直線l₁和l₂的交點的坐標為(

1

6

，-

5

2

)．
l₁、l₂與x軸交點的坐標分別為（1，0）、(-

22

3

，0)．
所以所求三角形的面積S=

1

2

×

25

3

×|-

5

2

|=

125

12

．

點評：本小題主要考查導數的幾何意義，兩條直線垂直的性質以及分析問題和綜合運算能力．本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．