Question

【題目】平行四邊形中，，沿將折起，使二面角是大小為銳角的二面角，設在平面上的射影為．

（1）當為何值時，三棱錐的體積最大？最大值為多少？

（2）當時，求的大小．

Answer 1

【答案】(1) 當時，三棱錐的體積最大，最大值為;(2).

【解析】

（1）由題意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱錐的體積計算公式和正弦函數的單調性即可得出；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，由，即可得出．

（1）由題知OD為CD在平面ABD上的射影，CO⊥平面ABD，

，∵平面，

∴BD⊥OD，二面角的平面角

∴，則．

∴

當且僅當，即時取等號，

∴當時，三棱錐的體積最大，最大值為．

（2）過O作OE⊥AB于E，則OEBD為矩形，

以O為原點，OE，OD，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，則

由，得，

∴，

得，又為銳角，∴．